Aproksimasi Kesalahan

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

• Sebagian Guru mengatakan bahwa mata pelajaran yang tidak disenangi bagi siswa SMK pada umumnya matematika dalam hati bertanya, mengapa mereka tidak menyenanginya ?. Berdasarkan pertanyaan tersebut perlu adanya pemecahan, salah satunya adalah dalam penyampaian materi. Maka dalam pembelajaran matematika perlu memperhatikan pendekatan diantaranya metode mengajar yang lebih menarik disamping guru juga harus mempunyai kompetensi dalam menjelaskan konsep-konsep dasar materi/pokok bahasan matematika yang akan diajarkan kepada siswa, diusahakan Guru dapat menguasai media pembelajaran melalului media komputer sebab dengan penampilan segi visual akan lebih menarik siswa dalam belajar.
• Konsep - konsep dasar materi/pokok bahasan matematika Aproksimasi ini merupakan materi yang harus dikuasai oleh siswa SMK karena sangat menunjang kelancaran dalam mempersiapkan bentuk-bentuk perkiraan dalam mengambil keputusan terutama dalam segi pengukuran suatu barang. Pada waktu melaksanakan pelajaran praktik, siswa kadang kala diperkenankan melaksanakan pengukuran tentang beberapa benda yang ada, maka hal tersebut ada keterkaitannya dengan aproksimasi. Oleh karena itu guru matematika SMK perlu memahami pembelajaran aproksimasi dengan membuat berbagai alat pembelajaran.

Tujuan

Setelah mempelajari Aproksimasi diharapkan mampu dan dapat menerapkannya :

• Pembulatan hasil pengukuran ditentukan berdasar konsep aproksimasi.
• Salah mutlak, Salah relatif, jumlah dan hasil kali dua pengukuran.

Ruang Lingkup

Bahan ajar Aproksimasi meliputi : 

• Pengertian Aproksimasi, Pembulatan,
• Salah mutlak, Salah relatif,    
• Persentase Kesalahan, Toleransi dan 
• Batas-batas Pengukuran.

BAB II

APROKSIMASI

Pengertian Aproksimasi

Dalam percakapan sehari-hari, sering kita menyebut suatu bilangan, misalnya “ Keranjang ini isinya 12 butir telur ”, atau “ Model pakaian ini memerlukan kain 3 meter ” . Dua contoh kalimat tadi menyebut bilangan yang diperoleh secara berbeda, yaitu bilangan 12 diperoleh dari kegiatan “ membilang ” karena bilangan yang dimaksud adalah eksak yang hanya ada satu jawaban yang tepat untuk persoalan itu, sedangkan bilangan 3 diperoleh dari “ pengukuran ” karena bilangan yang didapat hasilnya tidak pasti ( tidak eksak ) mungkin 2,99… meter, sehingga dibulatkan saja menjadi 3 meter. Dari kegiatan pengukuran tersebut walaupun telitinya dalam mengadakan suatu pengukuran, tidak akan dapat menyatakan ukuran yang tepat, meskipun suatu ukuran yang demikian itu ada. Dengan demikian bilangan yang diperoleh dari mengukur itu hanyalah pendekatan atau pembulatan. Pembulatan seperti ini disebut aproksimasi.

Pembulatan

Semua pengukuran adalah “ pendekatan “ oleh karena itu hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.

Pembulatan dilakukan dengan aturan, jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di depannya ditambah satu. Kalau angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan dan angka di depannya tetap.

Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu :

• Pembulatan ke ukuran satuan ukuran terdekat
• Pembulatan ke banyaknya angka desimal, dan
• Pembulatan ke banyaknya angka-angka yang signifikan

Pembulatan ke Ukuran Satuan Terdekat

Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur

Contoh :

• 165,5 cm  = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
• 2, 43 kg   = 12 kg , dibulatkan ke kg terdekat
• 14,16 detik  = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat

Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka Desimal

Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang dikehendaki.

Contoh :

5,47035  =  5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal

= 5,470  dibulatkan sampai tiga tempat desimal

= 5,47  dibulatkan sampai dua tempat desimal

= 5,5   dibulatkan sampai satu tempat desimal

Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka yang Signifikan

Cara lain untuk menyatakan ketelitian pendekatan, yaitu dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan. Istilah signifikan berasal dari bahasa Inggris "Significant" yang berarti "bermakna".Kita menyatakan bahwa 64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan dan 65 cm mempunyai 2 angka yang signifikan.

Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk menentukan angka-angka mana yang signifikan :

• Angka yang tidak nol selalu signifikan
• Angka "0" itu signifikan jika letaknya diantara angka-angka yang signifikan.
• Angka "0" itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang tidak nol bahkan jika angka-angka nol itu muncul sesudah tanda tempat desimal
• Angka "0" itu signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-angka lain yang signifikan
• Angka "0" pada suatu bilangan, khususnya yang ditandai “strip “ atau “ bar “ adalah signifikan.

Contoh :

• 807003 Disini mempunyai 6 angka signifikan.
• 032,00 m. Dua angka nol ( dibelakang ) di sini menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter terdekat, jadi signifikan, di sini ada 4 angka signifikan
• 0,0720 km. Dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga menunjukkan bahwa panjang telah diukur sampai ke persepuluhan meter, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan
• 20,080 km. Di sini mempunyai 5 angka yang signifikan
• 500 - dalam hal ini, dua angka nol bisa signifikan atau bisa tidak signifikan. (signifikan jika aslinya memang 500, tidak signifikan jika aslinya tidak 500 misal: 496 atau 455 yang dibulatkan ke ratusan terdekat.) Sehingga untuk memperjelas digunakan tanda strip misal:  dan  disini mempunyai 3 angka signifikan

LATIHAN SOAL

Manakah dari pernyataan berikut ini yang eksak (ditemukan dengan membilang) dan mana yang merupakan pendekatan. Jelaskan!

• Waktu yang digunakan untuk memasak makanan
• Banyaknya kancing yang diperlukan untuk satu kemeja panjang
• Harga 1 kg gula pasir
• Volume minyak dalam botol ialah 1 liter
• Jumlah uang yang dikumpulkan oleh suatu kelas untuk dana sosial
• Kecepatan kendaraan yang menabrak pohon.
• Banyaknya gula yang diperlukan untuk membuat kue tar
• Beratnya suatu paket ialah 235 gram
• Banyaknya rupiah untuk menukar uang kertas Rp. 1000,-

Jelaskan cara membulatkan  684573 ke :

a.   Puluhan

b.   Ratusan

c.    ribuan

d.   puluh ribu yang terdekat

Bulatkan sampai satu tempat desimal :

Jelaskan!

a.   4,89

b.   0,453

c.    308,04

d.   48,08

e.   13,2503

Jelaskan cara menyatakan 1 cm sebagai pecahan desimal dan bulatkan sampai :

a.   seperpuluhan cm terdekat             

b.   3 tempat desimal       

c.    2 angka signifikan                          

d.   3 angka signifikan

BAB III
PENGUKURAN

Kesalahan Hasil Pengukuran

Selisih antara ukuran sebenarnya dan ukuran yang di peroleh dari pengukuran itu disebut kesalahannya. Besarnya kesalahan ini dapat diperkecil dengan menggunakan alat pengukur yang lebih teliti dan cara pengukuran yang lebih teliti pula. Akan tetapi, hasil pengukuran tidak akan pernah eksak sekalipun tidak terjadi kesalahan cara mengukurnya. Oleh karena itu, kita perlu mengetahui pada setiap keadaan, sampai di mana kita dapat mempercayai pengukuran kita, yaitu kita harus mengetahui kesalahan maksimum yang dapat di tenggang.

Berikut ini akan diuraikan beberapa macam kesalahan :

• Salah Mutlak
• Salah Relatif
• Persentase Kesalahan 

Salah Mutlak

Pandanglah pengukuran suatu panjang baut. Jika kita menggunakan penggaris yang ditera dalam sentimeter, maka kita dapat mengatakan bahwa panjangnya ialah 5 cm. Ini tidak berarti bahwa panjangnya 5 cm. Kita mengatakan bahwa pengukuran ini tepat sampai sentimeter terdekat, dan kita mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran ialah 1 cm. Jadi panjang sebenarnya ialah lebih dekat ke 5 cm dari pada ke 4 cm atau  ke 6 cm, yaitu panjangnya terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm dan kesalahannya sebesar-besarnya 0,5 cm. Kita mengatakan bahwa salah mutlaknya ialah 0,5 cm.

Perhatikan dari penjelasan gambar berikut ini bahwa batas atas panjang baut ialah 5,5 cm dan batas bawahnya ialah 4,5 cm Dengan demikian salah mutlak adalah setengah dari satuan ukuran terkecil.

salah mutlak  = ½  x  satuan ukuran terkecil

Contoh :

Seorang siswa dari program keahlian Tata Boga akan membuat kue,  bahan yang diperlukan 0,6 kg tepung dan 8 butir telor ayam.

Dari keadaan tersebut dapat diketahui aspek pengukuran sebagai berikut :

Tepung :

Satuan ukuran terkecil = 0,1 kg

Jadi salah mutlak  = ½  x 0,1 kg = 0,05 kg

Batas atas pengukuran = 0,65 kg

Batas bawah pengukuran = 0,55 kg

Telor :

Banyaknya telor ayam tepat 8 butir ( eksak )

Salah Relatif

Besar kecilnya kesalahan sebetulnya dapat ditentukan oleh teliti

tidaknya alat yang digunakan. Memilih alat ukur yang digunakan harus

disesuaikan dengan kebutuhannya.

Misalnya : seseorang bekerja membuat garis pinggir dari suatu lapangan sepakbola. Suatu kesalahan sebesar 1 cm sampai 5 cm adalah relatif tidak penting. Akan tetapi, suatu kesalahan 1 cm saja yang di perbuat oleh seorang tukang kayu akan menggagalkan pekerjaannya. Demikian halnya jika kita membuat kue dengan tepung 2 kg, yang dibubuhi esens terlalu banyak  ½ cangkir, akibatnya kue itu tidak enak dimakan. Sering kali kita memandang suatu kesalahan dibandingkan dengan pengukuran yang sebenarnya. Karena itu kita menggunakan istilah salah relatif ( nisbi).

Salah relative = salah mutlak / hasil pengukuran

Contoh : 

Seorang siswa membeli kain yang panjangnya 2,5 meter dengan satuan ukuran terkecil  0,1 meter, berapakah salah relatif dari pengukuran yang dilakukan ?

Jawab : Salah mutlak  = ½  x 0,1 m = 0,05 m

Salah relatif  =        =       =

Persentase Kesalahan

Untuk menghitung persentase kesalahan dari suatu pengukuran , terlebih dahulu dicari salah relatif dari pengukuran itu, kemudian mengalikan dengan 100 % ( yaitu dengan 1 )

Jadi persentase kesalahan dirumuskan sebagai berikut :

Persentase Kesalahan =Salah relatif x100 %

Contoh :

Sepucuk surat setelah ditimbang, ternyata beratnya 0,8 gram.

Carilah persentase kesalahan pengukuran itu ?

Jawab  :  satuan ukuran terkecil = 0,1 gram

Salah mutlak  = ½  x 0,1 gram = 0,05 gram

Salah relatif  =            =   

Persentase kesalahan =         x  100 %  = 6,25  % 

Toleransi

Pada industri modern yang menggunakan metode-metode produksi massal, bagian-bagian alat sering kali dibuat dalam pabrik-pabrik yang berbeda yang kemudian dikirim ke pabrik induk untuk dirakit. Karena itu penting sekali memastikan bahwa bagian-bagian alat itu dibuat cukup teliti, supaya cocok bila dirakit. Untuk itu biasanya kita menentukan kesalahan maksimum ukuran yang diperbolehkan dalam pembuatan bagian-bagiannya. Misalnya: Di sebuah pabrik kendaraan baut-bautnya  dibuat dengan mesin dan diharuskan berdiameter 6 mm spesifikasinya mungkin memperbolehkan diameternya antara 5,8 mm dan 6,2 mm. Selisih antara batas-batas ini yaitu 0,4 mm, disebut toleransi dalam pengukuran dan dinyatakan dengan ( 6 ± 0,2 ) mm.

Jadi toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima.

Contoh : 

Toleransi yang diperkenankan untuk massa ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti massa terbesar yang dapat diterima ialah 15 + 0,5 = 15,5 gram dan massa terkecil yang dapat diterima ialah 15 – 0,5 = 14,5 gram sehingga toleransinya adalah 1 gram.

Batas-batas Pengukuran

Penjumlahan Hasil Pengukuran

Untuk mengetahui batas-batas jumlah dari dua pengukuran perhatikan contoh berikut ini :

Contoh : 

Berapakah batas-batas jumlah dari hasil-hasil pengukuran 5,2 cm dan 3,6 cm, masing masing dibulatkan ke  0,1 cm terdekat ?

Jawab :   

Pengukuran 5,2  cm terletak dalam jangkauan ( 5,2 ± 0,05 ) cm, yaitu antara 5,15 cm dan 5,25 cm

Pengukuran 3,6 cm terletak dalam jangkauan ( 3,6 ± 0,05 ) cm, yaitu antara 3,55 cm dan 3,65 cm

Jumlah maksimum diperoleh dari jumlah batas atas pengukuran yang pertama dengan batas atas pengukuran yang kedua, sedangkan jumlah minimum diperoleh dari jumlah batas bawah pengukuran yang pertama dengan batas bawah pengukuran yang kedua

Jadi jumlah maksimum adalah 5,25 cm + 3,65 cm = 8,90 cm dan jumlah minimum adalah 5,15 cm +3,55 cm = 8,70 cm

Perhatikan bahwa ternyata jumlah pengukuran 8,8 cm mempunyai salah mutlak 0,10 cm, yang sama dengan jumlah dari salah mutlak dalam pengukuran-pengukuran asal.

Jadi, pengukuran-pengukuran kalau dijumlahkan , maka salah mutlak dari jumlah pengukuran sama dengan jumlah salah mutlak dari tiap pengukuran asal. 

Pengurangan Hasil Pengukuran

Untuk mengetahui batas-batas selisih dari dua pengukuran perhatikan contoh berikut ini :

Contoh : 

Berapakah batas-batas selisih antara hasil-hasil pengukuran 5 cm dan 3 cm, masing masing dibulatkan ke sentimeter terdekat ?

Jawab :  

Pengukuran 5 cm terletak dalam jangkauan ( 5 ±  0,5 ) cm, yaitu antara 4,5 cm dan 5,5 cm

Pengukuran 3 cm terletak dalam jangkauan ( 3 ± 0,5 ) cm, yaitu antara 2,5 cm dan 3,5 cm

Selisih maksimum didapat dari jika nilai terbesar dari pengukuran yang pertama dikurangi dengan nilai terkecil dari pengukuran yang kedua.Jadi, jumlah maksimum  =  5,5 cm  -  2,5 cm  =  3 cm

Selisih minimum didapat dari jika nilai terkecil dari pengukuran yang pertama dikurangi dengan nilai terbesar dari pengukuran yang kedua

Jadi,  selisih minimum  =  4,5 cm  -  3,5 cm  =  1 cm

Perhatikan bahwa ternyata selisih pengukuran 2 cm mempunyai salah mutlak 1 cm, yang sama dengan jumlah dari salah mutlak dalam pengukuran-pengukuran asal.

Jadi, jika hasil-hasil pengukuran dikurangkan, maka salah mutlak selisih pengukuran sama dengan jumlah salah mutlak dari tiap pengukuran asal.

Perkalian Hasil-hasil Pengukuran

Untuk mengetahui batas-batas maksimum dan minimum perkalian  dari dua pengukuran perhatikan contoh berikut ini :

Contoh :

Berapakah batas-batas luas persegi panjang dengan panjang 4,5 m dan lebar 3,4 m, masing masing dibulatkan ke  0,1 m  terdekat ?

Jawab : 

Pengukuran  4,5 m terletak dalam jangkauan (4,5  ±  0,05) m, yaitu antara  4,45 m dan  4,55 m

Pengukuran 3,4 m terletak dalam jangkauan (3,4  ±  0,05) m, yaitu antara  3,35 m dan 3,45 m

Luas maksimum yang mungkin = ( 4,55 x 3,45 ) m2 = 15,6975 m2­

Luas minimum yang mungkin = ( 4,45 x 3,35 ) m2 = 14,9075 m2­

Jadi luas sebenarnya terletak antara 14,9075 m2­ dan 15,6975 m2 . Padahal luas yang dihitung atas dasar pengukuran panjang dan lebar adalah   ( 4,5 x 3,4 ) m2 = 15,3 m2­

Jadi dapat disimpulkan bahwa :

Luas maksimum = batas atas  I  x  batas atas  II

Luas minimum  = batas bawah  I  x  batas bawah  II